Ecuaciones diferenciales por sustitución

Definición

Supongamos que tenemos la E. D.

y' = f(x, y)

Que tiene un aspecto diferente a cualquiera de las que ya se han estudiado. En ocasiones puede ocurrir que, sustituyendo una parte de la ecuación por una nueva variable, la E. D. aparentemente difícil de la que partamos se transforme en una que puede resolverse con facilidad. Esto es, en esencia, encontrar un cambio de variables inteligente. Aunque no pueden darse reglas fijas sobre que sustituciones usar, si es que hay alguna sustitución posible, vale la pena intentar algo cuando no se nos ocurre otro camino. Muchas veces, una sustitución muy simple puede ser suficiente. RECETA 6. Sustituciones. Cuando tenemos una E. D.

y' = f(x, y) 

Que no responde a alguno de los tipos estudiados hasta ahora, a veces una sustitución (en esencia, un cambio de variable) mas o menos ingeniosa transforma la ecuación en una reconocible. Lógicamente, no puede darse una regla general pero, en todo caso, merece la pena intentar algo.

Metodología para resolver Ecuaciones diferenciales por sustitución

I. Buscamos una sustitución que nos permita transformar a lineal o separable la ED.

Generalmente cuando tenemos:

Utilizamos la sustitución: $u=Ax+By+C$

Despejamos de la nueva función $u$, la variable $y$:

Y derivamos para obtener

II. Sustituimos (2) y (3) en (1):

III. Separamos variables e integramos:

IV. Regresamos a las variables originales.

Ejemplo

Paso I. Buscamos una sustitición para transformar en separable la ED.

Si $u=x+y$,

Entonces, despejando y, tenemos:

Paso II. Sustituimos.Esto implica:

Paso III. Separamos variables e integramos:

De modo que:

Utilizamos el hecho de que: $\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$, de modo que:

Identidad trigonométrica: ${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)$, por tanto:

Paso IV. Regresamos a las variables originales:

si $u=x+y$, entonces:

De modo que la solución, de manera implícita, es: